שיעור 83: חקרה עם פרמטר -בגרות 2026 571

שאלות בגרות -חקירת מנה עם פרמטר

1🔵 סעיף א1: משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים

2🟣 סעיף א2: שיעורי נקודת הקיצון וסוגה – נגזרת מנה בלי לפתוח סוגריים

3🟢 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

4🔷 סעיף ג: מציאת a – הזזה למעלה ונקודה אחת בלבד משותפת עם ציר x

5🔵 סעיף ד1: תחומי החיוביות והשליליות של h(x) = g(x) · g′(x)

נתונה הפונקציה f(x) = ax(x − 3)², המוגדרת בתחום x ≠ 3. a הוא פרמטר חיובי.

🔵 סעיף א1: משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.

תחום הגדרה x ≠ 3 ← אנכית x = 3.

במונה החזקה 1, במכנה (אחרי פתיחה) x² – החזקה במכנה גדולה ← y = 0.

✅ x = 3 , y = 0

🟣 סעיף א2: שיעורי נקודת הקיצון וסוגה – נגזרת מנה בלי לפתוח סוגריים

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבעו את סוגן.

נגזרת מורכבת: ((x − 3)²)′ = 2(x − 3) · 1

f′(x) = a(x − 3)²
− 2(x − 3) · ax(x − 3)⁴ = 0

a(x − 3)² − 2ax(x − 3) = 0 /:a

גורם משותף (x − 3): (x − 3)(x − 3 − 2x) = 0

(x − 3)(−x − 3) = 0

x = 3 – לא בתחום ההגדרה ; x = −3 – חשודה לקיצון.

f(−3) = a · (−3)(−3 − 3)² = −3a36 = −a12

המכנה (x − 3)⁴ חיובי; המונה (x − 3)(−x − 3) הוא פרבולה הפוכה שחותכת ב-−3 וב-3:

🟣 סעיף א2: שיעורי נקודת הקיצון וסוגה – נגזרת מנה בלי לפתוח סוגריים · המשך

המכנה (x − 3)⁴ חיובי; המונה (x − 3)(−x − 3) הוא פרבולה הפוכה שחותכת ב-−3 וב-3:

x	x < −3	−3 < x < 3	x > 3
f′(x)	−	+	−
f(x)	↘	↗	↘

✅ (−3 , −a12) מינימום

🟢 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אסימפטוטות x = 3, y = 0; מינימום (−3 , −a12); הגרף עובר ב-(0 , 0).

יורדת עד −3, עולה עד 3, ואחרי 3 יורדת ונצמדת ל-y = 0.

✅ ראו סקיצה

🔷 סעיף ג: מציאת a – הזזה למעלה ונקודה אחת בלבד משותפת עם ציר x

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 12, המוגדרת בתחום x ≠ 3. נתון כי לגרף הפונקציה g(x) יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר x. מצאו את הערך של a.

+ 12 ← כל הגרף עולה ב-12 (גם האסימפטוטה האופקית: y = 12).

נקודה אחת בלבד עם ציר x ← נקודת המינימום עולה בדיוק לציר x:

−a12 + 12 = 0 ← a12 = 12

כפל בהצלבה: 2a = 12

✅ a = 6

הגרף של g(x): המינימום (−3 , 0) על ציר x

🔵 סעיף ד1: תחומי החיוביות והשליליות של h(x) = g(x) · g′(x)

הציבו בפונקציה g(x) את הערך של a שמצאתם. נתונה הפונקציה h(x) = g(x) · g′(x), המוגדרת בתחום x ≠ 3. רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של h(x).

g(x) תמיד מעל ציר x (חיובית), חוץ מ-x = −3 שבה g = 0.

g′(x) לפי עלייה וירידה של g:

x	x < −3	−3 < x < 3	x > 3
g(x)	+	+	+
g′(x)	−	+	−
h(x)	−	+	−

✅ חיובית: −3 < x < 3

✅ שלילית: x < −3 , x > 3

📌 לזכור

💡 "בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר x" אחרי הזזה ← נקודת הקיצון נוגעת בציר x. וסימן של מכפלה g · g′: סימן הפונקציה כפול סימן הנגזרת (עולה/יורדת).

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא